Análise de escoamento em condutos forçados

Este texto tem como objetivo mostrar os aspectos práticos que envolvem a análise do escoamento de fluidos incompressíveis em condutos forçados uniformes, de seção circular, em regime permanente. Esta reunião de condições representa a maioria das situações com as quais boa parte dos projetistas de hidráulica se deparam no dia a dia. Não é intenção deste trabalho esgotar o assunto nem demonstrar as teorias hidráulicas envolvidas — isso já é amplamente tratado na literatura corrente — mas mostrar tópicos práticos relevantes sobre o dimensionamento hidráulico de condutos forçados.

Conceitos básicos

Entende-se por conduto forçado aquele no qual o fluido escoa a plena seção e sob pressão. Os condutos de seção circular são chamados de tubos ou tubulações. Um conduto é dito uniforme quando sua seção transversal não varia com o comprimento. Se a velocidade do fluido em qualquer seção do conduto não variar com o tempo, o regime de escoamento é dito permanente.

A densidade dos líquidos, ao contrário do que se passa com os gases, varia muito pouco quando se varia sua pressão ou temperatura — por isso, do ponto de vista prático, considera-se que os líquidos se comportam como incompressíveis. Neste contexto se incluem querosene, gasolina, álcool, óleo, diesel, água, vinho, leite, etc.

Pode-se iniciar o equacionamento apresentando a equação da continuidade em sua forma mais comum:

Q = A·V

onde:

• Q = vazão no tubo (m³/s)
• A = π·D²/4 = área da seção transversal do tubo (m²)
• D = diâmetro interno do tubo (m)
• V = velocidade do líquido no interior do tubo (m/s)

Regime laminar e turbulento

Um escoamento também se classifica como turbulento ou laminar. No escoamento laminar há um caminhamento disciplinado das partículas fluidas, seguindo trajetórias regulares, sem que as trajetórias de duas partículas vizinhas se cruzem. Já no escoamento turbulento, a velocidade num dado ponto varia constantemente em grandeza e direção, com trajetórias irregulares.

O critério para determinar se o escoamento é turbulento ou laminar é o número de Reynolds:

Re = V·D / ν

que, substituindo a equação da continuidade, assume a forma conveniente:

Re = 4Q / (π·ν·D)

onde ν é a viscosidade cinemática do líquido (m²/s).

Nas condições normais de escoamento, o número de Reynolds é interpretado da seguinte forma:

• Re > 4000 → escoamento turbulento
• Re < 2000 → escoamento laminar
• Entre esses dois valores há a zona de transição, onde não se pode determinar com precisão os elementos do dimensionamento.

As equações aqui utilizadas se aplicam ao escoamento turbulento — que é, em geral, o regime predominante na condução de líquidos no interior de tubulações, exceto em situações especiais, como escoamento a baixíssimas vazões (por exemplo em gotejadores de irrigação).

Perda de carga

Sempre que um líquido escoa no interior de um tubo, de um ponto para outro, haverá uma certa perda de energia, denominada perda de pressão ou perda de carga. Essa perda de energia é devida ao atrito com as paredes do tubo e à viscosidade do líquido em escoamento. Quanto maior a rugosidade da parede da tubulação, maior será a turbulência do escoamento e, portanto, maior a perda de carga.

Há cerca de dois séculos vêm sendo realizados estudos e pesquisas buscando estabelecer leis que possam reger as perdas de carga em condutos. Várias fórmulas empíricas foram estabelecidas no passado — como as de Hazen-Williams, Manning e Flamant — mas trabalhos de diversos investigadores mostram que, em sua totalidade, são mais ou menos incorretas, sendo o erro tanto maior quanto mais amplo é o domínio de aplicação pretendido por seus autores.

Atualmente, a expressão mais precisa e universalmente usada para análise de escoamento em tubos — proposta em 1845 — é a conhecida equação de Darcy-Weisbach:

h_f = f · (L/D) · (V²/2g)

que, substituindo a equação da continuidade e reorganizando, assume a forma conveniente:

J = h_f/L = f · (8Q²)/(π²·g·D⁵)

onde:

• h_f = perda de carga ao longo do comprimento do tubo (mca)
• f = fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional)
• L = comprimento do tubo (m)
• J = h_f/L = perda de carga unitária (mca/m)
• g = aceleração da gravidade local (m/s²)

Mas não se encontrou logo uma maneira segura de determinar o fator de atrito. Somente em 1939, quase 100 anos depois, estabeleceu-se definitivamente uma lei para o fator de atrito f, através da equação de Colebrook-White:

1/√f = -2·log₁₀( k/(3,7D) + 2,51/(Re·√f) )

onde:

• k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m)
• Re = número de Reynolds (adimensional)

Trata-se de uma equação implícita: a variável f aparece nos dois membros da equação, não sendo possível explicitá-la diretamente. Sua resolução requer um processo iterativo — mas isso não a torna impraticável. Métodos numéricos, embora aproximativos, são capazes de resolver equações implícitas com a precisão desejada, e encontram grande utilidade em hidráulica.

Método iterativo

O método consiste em arbitrar um valor inicial qualquer para a variável procurada (que está no segundo membro da equação), calcular um novo valor para essa mesma variável (agora no primeiro membro), e comparar a diferença entre o valor inicial e o valor calculado com a tolerância desejada. Se a diferença for maior que a tolerância, o novo valor passa a ser o valor inicial e repete-se o processo; se for menor, o valor calculado é a resposta procurada.

Substituindo a equação da continuidade e o número de Reynolds na equação de Colebrook-White, chega-se a um conjunto de três equações — para diâmetro, vazão e perda de carga unitária — que permite calcular diretamente cada uma dessas três grandezas, dadas as outras duas. A equação da vazão é explícita (o cálculo é imediato); as equações do diâmetro e da perda de carga são implícitas e resolvidas pelo método iterativo descrito acima.

Na prática do dia a dia, sempre nos deparamos com três situações, que nos levam a calcular: o diâmetro, a vazão (ou velocidade), ou a perda de carga. Estas são, em síntese, as três variáveis principais envolvidas no cálculo hidráulico — as demais (material do tubo, tipo de líquido, temperatura etc.) são dados básicos de entrada. Qualquer que seja o método empregado para determinar uma dessas três variáveis, as outras duas deverão ser conhecidas.

Estudo de casos

Caso 1 — Diâmetro. Um conduto cilíndrico de ferro fundido com cimento centrifugado, comprimento L = 3000 m, rugosidade equivalente k = 0,00024 m, conduz água à temperatura de 20 °C (ν = 0,00000101 m²/s) com vazão Q = 0,80 m³/s, sob diferença de carga piezométrica de h_f = 40 mca. Pede-se o diâmetro.

Aplicando o método iterativo à equação implícita do diâmetro, o cálculo converge em poucas iterações. (Os valores numéricos exatos deste caso, extraídos do PDF original, tiveram parte da codificação de caracteres corrompida na migração — a calculadora interativa acima usa a fórmula correta e verificada, mas os números específicos deste exemplo em particular não puderam ser conferidos com certeza contra o original.)

Caso 2 — Perda de carga. Um conduto cilíndrico de fibrocimento, comprimento L = 4000 m, diâmetro D = 0,25 m, rugosidade equivalente uniforme k = 0,000025 m, escoa água a 20 °C (ν = 0,00000101 m²/s), com vazão de 100 litros/s. Pede-se a perda de carga.

(Mesma ressalva do Caso 1 quanto ao valor numérico específico do resultado.)

Caso 3 — Vazão. Num conduto cilíndrico longo de concreto alisado centrifugado, diâmetro D = 1,0 m, rugosidade equivalente k = 0,00013 m, escoa água a 20 °C (ν = 0,00000101 m²/s), com perda de carga unitária J = 0,0025 mca/m. Pede-se a vazão.

Como a equação da vazão é explícita, o cálculo é imediato: Q ≈ 1,545 m³/s.

Considerações finais

A técnica iterativa, embora dê um pouco mais de trabalho manual do que uma fórmula explícita, é confiável e converge rapidamente na maioria dos casos práticos de engenharia hidráulica. Com o uso de programas de computador, a resolução torna-se simples, automática, rápida e sem margem para erros.

Quanto à precisão dos cálculos, as equações de Darcy-Weisbach e de Colebrook-White utilizam as melhores ferramentas da hidráulica e mecânica dos fluidos disponíveis para este fim.

Tabelas de referência

Rugosidade equivalente de alguns materiais de tubos (k, em metros):

Material	k (m)
Aço comercial	0,000046
Aço galvanizado	0,00015
Aço com ferrugem leve	0,00024
Aço revestido com asfalto	0,00012
Aço revestido com esmalte vinílico/epóxi	0,000006
Alumínio	0,000002
Concreto muito rugoso	0,003
Concreto rugoso	0,001
Concreto liso	0,00025
Concreto muito liso	0,000025
Concreto alisado centrifugado	0,00013
Ferro fundido asfaltado	0,00012
Ferro fundido não revestido, novo	0,00025
Ferro fundido com ferrugem leve	0,001
Ferro fundido com cimento centrifugado	0,00024
Fibrocimento	0,000025
Manilha cerâmica	0,0006
Latão/cobre	0,0000015
Plásticos (PVC, PEAD)	0,0000015

Viscosidade cinemática da água em função da temperatura:

Temperatura (°C)	ν (×10⁻⁶ m²/s)
10	1,31
20	1,01
30	0,80

Referências bibliográficas

• ASSY, T.M. “Emprego da fórmula universal de perda de carga e as limitações das fórmulas empíricas”. Cetesb, São Paulo.
• HWANG, N.H.C. “Fundamentos de sistemas de engenharia hidráulica”. Prentice-Hall, Rio de Janeiro.
• QUINTELA, A.C. “Hidráulica”. Calouste Gulbenkian, Lisboa.
• SIMON, A.L. “Hydraulics”. John Wiley & Sons, New York.
• TULLIS, J.P. “Hydraulics of pipelines”. John Wiley & Sons, New York.

Vitória, ES, maio de 2001. O autor é ex-Engenheiro Assistente Técnico da Tubos e Conexões Tigre S.A. e, à época, Chefe de Manutenção do SESC-ES.